Линеаризация нелинейных зависимостей

В ряде случаев в качестве эмпирической зависимости берут функцию, в которую неопределённые коэффициенты входят нелинейно. При этом функцию выбирают, как правило, такого вида, чтобы можно было её линеаризовать, т.е. свести к линейной. К таким зависимостей относятся, например, степенная:

у = а1ха2. (7)

экспоненциальная зависимость:

(8)

и показательная зависимость:

(9)

В приведенных выше зависимостях а1 и а2 являются коэффициентами, которые необходимо определить численно.

В общем случае, такое преобразование может быть своё. Для указанных выше зависимостей это достигается путём логарифмирования.

В случае степенной зависимости линеаризацию выполним путём логарифмирования уравнения (7). В результате чего получим соотношение:

(10)

Обозначим ln y, ln х и ln a1, соответственно через z, t и b, тогда зависимость (9) может быть записана в виде z = b + a2t, что позволяет применить формулы (5) с заменой a1, на b и пересчетом исходных данных zi = ln yi, а ti = ln xi. После вычисления b определяем значение коэффициента a1 исходной зависимости по формуле а1= еb.

Линеаризацию экспоненциальной зависимости выполняем путём логарифмирования равенства (8), после чего получаем соотношение

(11)

Обозначим ln y и ln а1 соответственно через Z и с, тогда зависимость (6.4) может быть записана в виде z=c+а2·х, что позволяет применить формулы для вычисления коэффициентов линейной зависимости (с заменой а на с и уi на zi).

Линеаризующие преобразования для различных видов функций приведены в таблице 2.

Таблица 2

, экспоненциальнаяlnY=Z

показательнаяlnY=Z

с=ln а1