|
Часто при анализе фактических результатов измерений или экспериментов возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между этими фактическими величинами.
Для нахождения аналитической взаимосвязи между двумя величинами х и у производят ряд наблюдений; в результате получается таблица значений:
Таблица 1 |
x |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn | |
y |
y1 |
y2 |
… |
yi |
… |
yn |
Поскольку табличные результаты получаются как итог каких-либо экспериментов, эти значения называются эмпирическими или опытными или экспериментальными значениями. Таким образом, исходными данными являются два одномерных массива одинаковой длины, содержащие эмпирические данные.
Если между величинами х и у существует некоторая функциональная зависимость, но её аналитический вид неизвестен, то возникает практическая задача - найти эмпирическую формулу
T =F (x, a1, a2,…, am), (2)
где а1, а2,…, ат - коэффициенты. Вид функции и значения коэффициентов а1, а2,…, ат подбираются таким образом, чтобы значения  = F(xi, al, a2,…, am), вычисленные по эмпирической формуле при различных значениях xi, как можно меньше отличались бы от опытных значений уi.
Нахождение аналитической зависимости между эмпирическими величинами называется аппроксимацией функции, заданной таблично.
Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта и знаний исследователя в предметной области, используя которые он может правильно указать класс функций.
Для аппроксимации вначале определяют класс функций, из которых выбирается аппроксимирующая функция F (x, al, a1,…, am), и далее отыскивают наилучшие значения коэффициентов.
Чаще всего для аппроксимации используют метод наименьших квадратов (МНК). Поясним геометрический смысл этого метода. Каждая пара чисел (xi, yi) из исходной таблицы определяет точку Мi на плоскости XOY. Используя формулу (2) с различными значениями коэффициентов а1, а2,…, ат, можно построить множество кривых, которые будут являться графиками теоретических функций F (x, al, a2,…, am). Величина = F(xi, a1, а2,…, ат) называется теоретическим значением функции в точке хi. Разность (- уi) называется отклонением или остатком и представляет собой расстояние по вертикали от точки М, до графика эмпирической функции.
Рис. 1. Геометрический смысл метода наименьших квадратов
Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами a1, a2,…, am считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденных теоретических значений функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов а1, а2,…, ат таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.
|